Question

已知數列{a_n}滿足條件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）計算a₁、a₃、a₄，請猜測數列{a_n}的通項公式并用數學歸納法證明；
（2）設b_n=a_n+n（n∈N^*），求

lim

n→∞

(

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

)的值．

Answer 1

分析：（1）計算前幾項，猜想數列的通項，再利用數學歸納法進行證明；
（2）確定數列的通項，利用裂項法求和，即可求得結論．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=1，且a₂=6
當n=2時，a₃=3（a₂-1）=15，
當n=3時，2a₄=4（a₃-1），∴a₄=28，…（2分）
猜測an=2n2-n…（4分）
下面用數學歸納法證明：
ⅰ當n=1，2，3，4時，等式an=2n2-n已成立…（5分）
ⅱ假設當n=k時，ak=2k2-k
則由（k-1）a_k+1=（k+1）（a_k-1），有：ak+1=

k+1

k-1

(k-1)(2k+1)=2k²+3k+1=2（k+1）²-（k+1）
即n=k+1時，等式也成立
綜上，an=2n2-n成立…（7分）
（2）b_n=a_n+n=2n²
∴b_n-2=2（n-1）（n+1）…（8分）
∴

1

bn-2

=

1

4

（

1

n-1

-

1

n+1

）…（10分）
∴

lim

n→∞

(

1

b2-2

+

1

b3-2

+…

1

bn-2

)=

lim

n→∞

1

4

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=

lim

n→∞

1

4

(

3

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

3

8

…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查數學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．