Question

使f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）為奇函數，且在[0，

π

4

]上是減函數的θ的一個值是（　　）

• A．-

  π

  3

• B．-

  π

  6

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：利用兩角和正弦公式化簡函數的解析式為 2sin（2x+θ-

π

3

），由于它是奇函數，故θ-

π

3

=kπ，k∈z，當k為奇數時，f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數，
此時，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，當k為偶數時，經檢驗不滿足條件，從而得出結論．

解答：解：∵f（x）=sin（2x+θ）-

3

cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-

π

3

）為奇函數，
∴f（0）=0，即sin（θ-

π

3

）=0．∴θ-

π

3

=kπ，k∈z，故 θ=kπ+

π

3

，k∈z．
當k為奇數時，令k=2n-1，θ=2nπ-

2π

3

，n∈z，此時f（x）=-2sin2x，滿足在[0，

π

4

]上是減函數，
當k為偶數時，令k=2n，θ=2nπ+

π

3

，n∈z，此時f（x）=2sin2x，不滿足在[0，

π

4

]上是減函數．
故選C．

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的單調性，奇偶性，體現了分類討論的數學思想，化簡函數的解析式是解題的突破口，屬于中檔題．