Question

使f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）為奇函數，且在[0，]上是減函數的θ的一個值是（ ）
A．-
B．-
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用兩角和正弦公式化簡函數的解析式為 2sin（2x+θ- ），由于它是奇函數，故θ-=kπ，k∈z，當k為奇數時，f（x）=-2sin2x，滿足在[0，]上是減函數，
此時，θ=2nπ-，n∈z，當k為偶數時，經檢驗不滿足條件，從而得出結論．
解答：解：∵f（x）=sin（2x+θ）-cos（2x+θ）=2sin（2x+θ-）為奇函數，
∴f（0）=0，即sin（θ-）=0．∴θ-=kπ，k∈z，故 θ=kπ+，k∈z．
當k為奇數時，令k=2n-1，θ=2nπ-，n∈z，此時f（x）=-2sin2x，滿足在[0，]上是減函數，
當k為偶數時，令k=2n，θ=2nπ+，n∈z，此時f（x）=2sin2x，不滿足在[0，]上是減函數．
故選C．
點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的單調性，奇偶性，體現了分類討論的數學思想，化簡函數的解析式是解題的突破口，屬于中檔題．