Question

將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球將自由下落.小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是.

（Ⅰ）求小球落入袋中的概率;
（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球,記為落入袋中小球的個數,試求的概率和的數學期望.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）3

（Ⅰ）解法一：記小球落入袋中的概率，則，
由于小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落，小球將落入袋，所以‘………………………………………………………………… 2分
 .    ……………………………………………………………… 5分
解法二：由于小球每次遇到黑色障礙物時，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時小球將落入袋.
 ，             ……………………………… 5分
（Ⅱ）由題意，所以有   ……………………………………………… 7分
 ，            ……………………………………… 10分
 .                             ……………………………… 12分