Question

某醫院為了提高服務質量，進行了下面的調查發現：當還未開始掛號時，有N個人已經在排隊等候掛號．開始掛號后排隊的人數平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個人，當開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現排隊現象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘后恰好不會出現排隊現象．根據以上信息，請你解決以下問題：
（Ⅰ）若要求8分鐘后不出現排隊現象，則至少需要同時開放幾個窗口？
（Ⅱ）若醫院做出承諾，開始掛號后每人等待的時間不超過25分鐘，問：若N=60，當只開放一個窗口時，能否實現做出的承諾？

Answer 1

分析：（I）由已知中當還未開始掛號時，有N個人已經在排隊等候掛號．開始掛號后排隊的人數平均每分鐘增加M人．掛號的速度是每窗口每分鐘K個人，當開放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現排隊現象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘后恰好不會出現排隊現象．我們可以構造關于M，N的方程組，求出M，N，K的關系，進而由8分鐘后不出現排隊現象，構造一個關于x的方程組，解方程組即可得到答案．
（II）由（I）的結論可得當N=60時，K=2.5，M=1，我們構造第n個人的等待時間的函數f（n），求出其解析式后，分析其最值，比照后，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）設要同時開放x個窗口才能滿足要求，
則 

N+40M=40K(1) N+15M=15K×2(2) N+8M≤8Kx(3)

由（1）、（2）得

K=2.5M N=60M

代入（3）得60M+8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4．
故至少同時開放4 個窗口才能滿足要求．
（Ⅱ）N=60時，K=2.5，M=1，設第n個人的等待時間為f（n）．
當n≤60時，第n個人的等待時間為他前面的n-1個人掛號完用去的時間；
當n＞60時，第n個人的等待時間為他前面的n-1個人掛號．
用去的時間減去他在開始掛號后到來掛號用去的時間，即
f（n）=

n-1 2.5 (n≤60) n-1 2.5 -(n-60)(n＞60)

當n≤60時，則當n=60時，f（n）取最大值為23.6分鐘．
當n＞60時，則當n=61時，f（n）取最大值為23分鐘．
故等待時間最長為23.6分鐘，說明能夠實現承諾．

點評：本題考查的知識點函數模型的選擇與應用，在利用函數模型，解答應用題時，解答的關鍵是根據已知條件求出函數的解析式，易忽略點是實際問題對自變量取值范圍（定義域）的影響．