Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD－中，AB//CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，PAD＝60°，AB⊥平面PAD，點(diǎn)M在棱PC上．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面PCD；

(Ⅱ)若直線PA// 平面MBD，求此時(shí)直線BP與平面MBD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（I）通過線面垂直的性質(zhì)得到，通過計(jì)算證明，由此證得平面，從而證得平面平面.（II）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得平面的法向量，再根據(jù)線面角的向量公式，求得線面角的正弦值.

解：（Ⅰ）因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以AB⊥DP，

又因?yàn)?/span>，AP=2，∠PAD=60°，

由，可得，

所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，

因?yàn)?/span>，所以DP⊥平面PAB，

因?yàn)?/span>，所以平面PAB⊥平面PCD

（Ⅱ）由AB⊥平面PAD

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

其中，，，，.

從而，，，

設(shè)，從而得，

，

設(shè)平面MBD的法向量為，

若直線PA//平面MBD，滿足，

即，

得，取，

且，

直線BP與平面MBD所成角的正弦值等于：

.