【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論
的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點
，
，且
，證明：
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）先求函數(shù)的定義域，求導(dǎo)后對
分成
三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)
時，
存在兩個極值點，同時用韋達(dá)定理寫出這兩個極值點的關(guān)系.化簡
，并利用導(dǎo)數(shù)求得上式表達(dá)式的單調(diào)區(qū)間以及最值，由此證得不等式成立.
（1）解：的定義域為
，
.
①當(dāng)
時，
對
恒成立，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)
時，令
，得
，
.
（ⅰ）當(dāng)時，
，
當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
.
所以在
，
上單調(diào)遞增，
在
上單調(diào)遞減.
（ⅱ）當(dāng)
時，
，
當(dāng)
時，；當(dāng)
時，.
所以在
上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)時，存在兩個極值點.
因為的兩個極值點
，
滿足
，所以
，
又
，則
.
，
令
，
，則
.
因為，所以
，
，即
，所以
在
上單調(diào)遞減.
因為
，所以
，
從而
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標(biāo)；
（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)
取最小值時，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某次考試后，對全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行整理，得到表：
分?jǐn)?shù)段 |
|
|
|
|
人數(shù) | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試成績的中位數(shù)是__________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知標(biāo)準(zhǔn)方程下的橢圓
的焦點在
軸上，且經(jīng)過點
，它的一個焦點恰好與拋物線
的焦點重合．橢圓
的上頂點為
，過點
的直線交橢圓于
兩點，連接
、
，記直線
的斜率分別為
.
(1)求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
（Ⅰ）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若
時，關(guān)于
的不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）若數(shù)列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求出
，在定義域內(nèi)，分別令
求得
的范圍，可得函數(shù)
增區(qū)間， 
求得
的范圍，可得函數(shù)
的減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)
時，因為
，所以
顯然不成立，先證明因此
時， 
在
上恒成立，再證明當(dāng)
時不滿足題意，從而可得結(jié)果；（III）先求出等差數(shù)列的前
項和為
，結(jié)合（II）可得
，各式相加即可得結(jié)論.
試題解析：（Ⅰ）由
，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為 
.
（Ⅱ）由
得， 
當(dāng)
時，因為
，所以
顯然不成立，因此
.
令
，則
，令
，得
.
當(dāng)
時， 
， 
，∴
，所以
，即有
.
因此
時， 
在
上恒成立.
②當(dāng)
時， 
， 
在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)，
∴
，不滿足題意.
綜上，不等式
在
上恒成立時，實數(shù)
的取值范圍是
.
（III）證明：由
知數(shù)列
是
的等差數(shù)列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在
上恒成立.
所以
. 將以上各式左右兩邊分別相加，得
.因為
所以
所以
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知直線
， (
為參數(shù)， 
為傾斜角).以坐標(biāo)原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的直角坐標(biāo)方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點
的直角坐標(biāo)為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對任意實數(shù)a，b，c，給出下列命題：
①“
”是“
”的充要條件
②“
是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件；
③“
”是“
”的充分不必要條件
④“
”是“
”的必要不充分條件，
其中真命題的個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－
－x，a∈R.
(1)當(dāng)a>0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－
(a∈Z)成立，求a的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數(shù)約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫(yī)療機構(gòu)免費為他們進(jìn)行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進(jìn)行統(tǒng)計，樣本分布被制作成如下圖表：
（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進(jìn)一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人？
（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發(fā)放生活補貼，標(biāo)準(zhǔn)如下：
①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元；
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100元.
利用樣本估計總體，試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.（單位：億元，結(jié)果保留兩位小數(shù)）
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