Question

如下圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點.

（1）求證：AM∥平面BDE；

（2）求證：AM⊥平面BDF；

（3）求二面角A-DF-B的大小.

Answer 1

證明：（1）建立如下圖所示的空間直角坐標系.

設AC∩BD=N，連接NE，

則點N、E的坐標分別是(,,0)、（0，0，1）,

∴=(-,-,1).

又點A、M的坐標分別是(,,0)、(,,1),

∴=(-,-,1).

∴=且與不共線.

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE；

（2）=(-,-,1)，

∵D（2，0，0），F（，，1），

∴=(0,,1).

∴·=0.

∴⊥.

同理⊥.

又DF∩BF=F,

∴AM⊥平面BDF.

解析：（3）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=(-,0,0)為平面DAF的法向量.

∵·=(-,-,1)·(-,,0)=0,·=(-,-,1)·(,,1)=0得⊥,⊥,

∴為平面BDF的法向量.

∴cos(,)= .

∴與的夾角是60°.

即所求二面角A-DF-B的大小是60°.