Question

已知數列的前項的和為，點在函數的圖象上．
（1）求數列的通項公式及的最大值；
（2）令，求數列的前項的和；
（3）設，數列的前項的和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值．

Answer 1

 （1），取得最大值12；（2）；（3）.

試題分析：（1）這是一個已知數列前的和求數列的通項公式的問題，解題思路非常明顯，就是利用，本題的易錯點就是不進行分類討論，丟掉了的情況，求的最大值既可由的表達式入手，配方即可，也可從數列的單調性變化放手，求出最大值；（2）易知是一個等比數列，所以就是等差乘等比型數列，可用錯位相減法求和；（3）根據數列的特點可用裂項相消法求出其前項的和為，再求出其最小值，根據不等式恒成立易求出結果.
試題解析：（1）因為點在函數 的圖象上．
所以，
當時，
當時，滿足上式，所以．
又，且
所以當或4時，取得最大值12．
（2）由題意知
所以數列的前項的和為
所以，
相減得，
所以．
（3）由（1）得
所以
易知在上單調遞增，所以的最小值為
不等式對一切都成立，則，即．
所以最大正整數的值為18．