Question

如圖，四棱錐中,面，、分別為、的中點，，.

（1）證明：∥面；
（2）求面與面所成銳角的余弦值.

Answer 1

(1)見解析；（2）.

解析試題分析：（1）(1) 利用三角形中位線定理，得出∥ .
（2）利用平幾何知識，可得一些線段的長度及，進一步以為軸建立坐標系，
得到，
確定面與面的法向量、：
由，可得令；
由又，可得令，進一步得到.
本題首先探究幾何體中的線面、線線垂直關系，創造建立空間直角坐標系的條件，應用“向量法”，確定二面角的余弦值.
解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養，能從“非規范幾何體”，探索得到建立空間直角坐標系的條件.
試題解析：(1)因為、分別為、的中點，
所以∥        2分
因為面，面
所以∥面        4分
（2）因為
所以
又因為為的中點
所以
所以
得，即     6分
因為，所以
分別以為軸建立坐標系
所以
則   8分
設、分別是面與面的法向量
則，令
又，令     11分
所以     12分

考點：直線與平面、平面與平面垂直，二面角的定義，空間向量的應用.