Question

f（x）是偶函數，且f（x）在[0，+∞）上是增函數，如果f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是不等式、函數性質以及恒成立有關的綜合類問題．在解答時，應先分析好函數的單調性，然后結合條件f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，將問題轉化為有關 x的不等式在[

1

2

，1]上恒成立的問題，在進行解答即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意可知：f（x）是偶函數，且f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∴f（x）在（-∞，0]上是減函數，
∴由f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，
可知：|ax+1|≤|x-2|在[

1

2

，1]上恒成立，
∴

-|x-2|-1

x

≤a≤

|x-2|-1

x

在[

1

2

，1]上恒成立，
∴-2≤a≤0．
故答案為：[-2，0]．

點評：本題考查的是不等式、函數性質以及恒成立有關的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了函數的性質、恒成立的思想以及問題轉化的能力．值得同學們體會與反思．