Question

已知f（x）是偶函數，且在（-∞，0]上單調遞減，對任意x∈R，x≠0，都有f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)．
（Ⅰ）指出f（x）在[0，+∞）上的單調性（不要求證明），并求f（1）的值；
（Ⅱ）k為常數，-1＜k＜1，解關于x的不等式f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用偶函數的圖象特點判斷出f（x）在[0，+∞）上的單調性；再利用賦值法把1代入即可求出f（1）的值；
（Ⅱ）利用偶函數的性質以及f（1）的值，可以先把f(

kx+3

x2+9

)＞

1

2

轉化為f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，進而得到，

|kx+3|

x2+9

＞1⇒（1-k²）x²-6kx＜0；再對二此項系數進行討論即可解不等式．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上是增函數，
∵f(x)+f(

1

x

)=-1+2log2(x2+

1

x2

)，
∴f（1）+f（1）=-1+2log₂（1+1）=1，
∴f(1)=

1

2

．
（Ⅱ）因為f（x）是偶函數，所以f(

kx+3

x2+9

)=f(

|kx+3|

x2+9

)，
不等式就是f(

|kx+3|

x2+9

)＞f(1)，∵f（x）在[0，+∞）上遞增，∴

|kx+3|

x2+9

＞1∴|kx+3|＞

x2+9

，
k²x²+6kx+9＞x²+9．∴（1-k²）x²-6kx＜0，
①若k=0，則x²＜0，∴不等式解集為?；
②若-1＜k＜0，則

6k

1-k2

＜x＜0，∴不等式解集為(

6k

1-k2

，0)；
③若0＜k＜1，則0＜x＜

6k

1-k2

，∴不等式解集為(0，

6k

1-k2

)．

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的綜合應用問題．偶函數的圖象特點是在關于原點對稱的區間上單調性相反；而奇函數的圖象特點是在關于原點對稱的區間上單調性相同．