Question

【題目】已知函數，對于任意的 ，都有, 當時，，且.

( I ) 求的值；

(II) 當時，求函數的最大值和最小值；

(III) 設函數，判斷函數g(x)最多有幾個零點，并求出此時實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）當 時，函數最多有個零點.

【解析】

（Ⅰ）根據條件，取特殊值求解；

（Ⅱ）根據定義，判斷函數的單調性，進而求出函數的最值；

（Ⅲ）根據定義，判斷函數為奇函數，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根據單調性可得 x2﹣2|x|﹣m＝0，根據二次函數的性質可知最多有4個零點，且m∈（﹣1，0）．

（I）令得，得.

令得，

令得

(II)任取且，則，

因為，即，

令

則.

由已知時，且，則，

所以 ，，

所以函數在R上是減函數，

故 在單調遞減.

所以，

又，

由，得 ，

，

故.

(III) 令代入，

得，

所以，故為奇函數.

∴

=

=

，

令,即，

因為函數在R上是減函數，

所以，即，

所以當 時，函數最多有4個零點.