Question

【題目】設數列{an}，{bn}，{cn}滿足a1=a，b1=1，c1=3，對于任意n∈N* ， 有bn+1= ，cn+1= ．
（1）求數列{cn﹣bn}的通項公式；
（2）若數列{an}和{bn+cn}都是常數項，求實數a的值；
（3）若數列{an}是公比為a的等比數列，記數列{bn}和{cn}的前n項和分別為Sn和Tn ， 記Mn=2Sn+1﹣Tn ， 求Mn＜ 對任意n∈N*恒成立的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于bn+1= ，cn+1= ．

cn+1﹣bn+1= （bn﹣cn）=﹣ （cn﹣bn），

即數列{cn﹣bn}是首項為2，公比為﹣ 的等比數列，

所以cn﹣bn=2（﹣ ）n﹣1

（2）解：bn+1+cn+1= （bn+cn）+an，

因為b1+c1=4，數列{an}和{bn+cn}都是常數項，

即有an=a，bn+cn=4，

即4= ×4+a，解得a=2

（3）解：數列{an}是公比為a的等比數列，即有an=an，

由Mn=2Sn+1﹣Tn=2（b1+b2+…+bn）﹣（c1+c2+…+cn）

=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）

=2+a+a2+…+an，

由題意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．

由2+ ＜ 對任意n∈N*恒成立，

即有2+ ≤ ，

解得﹣1＜a＜0或0＜a≤ ．

故a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0， ]

【解析】（1）根據條件建立方程關系即可求出求數列{cn﹣bn}的通項公式；（2）b1+c1=4，數列{an}和{bn+cn}都是常數項，即有an=a，bn+cn=4，即可得到a=2；（3）由等比數列的通項可得an=an ， 由Mn=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2bn+1﹣cn）=2+a+a2+…+an ， 由題意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．運用等比數列的求和公式和不等式恒成立思想，計算即可得到a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．