Question

（2010•黃岡模擬）已知函數y=f（x）的反函數為y=f^-1（x），定義：若對給定的實數a（a≠0），函數y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a和性質”．
（1）判斷函數g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2）若F（x）=kx+b，其中k≠0，x∈R滿足“2和性質”，則是否存在實數a，使得F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1）對任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]的反函數是g^-1（x）=-

x-1

-1，x∈[1，2]，所以g^-1（x+1）=-

x

-1，x∈[0，1]，由此能夠判斷函數g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]不滿足“1和性質”．
（2）設函數F（x）=kx+b滿足“2和性質”，k≠0．所以F^-1（x）=

x-b

k

，x∈R，F^-1（x+2）=

x+2-b

k

，而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，得反函數y=

x-b-2k

k

．由此入手能導出當1＜a＜9使得F（cos²θ+asinθ）＜3對任意的θ∈（0，π）恒成立．

解答：解：（1）函數g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]的反函數是g^-1（x）=-

x-1

-1，x∈[1，2]
∴g^-1（x+1）=-

x

-1，x∈[0，1]
而g（x+1）=（x+2）²+1，x∈[-3，-2]
其反函數為y=-2-

x-1

，x∈[1，2]，
故函數g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]不滿足“1和性質”；（6分）
（2）設函數F（x）=kx+b滿足“2和性質”，k≠0．
∴F^-1（x）=

x-b

k

，x∈R，
F^-1（x+2）=

x+2-b

k

，
而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，
得反函數y=

x-b-2k

k

由“2和性質”定義可知

x+2-b

k

=

x-b-2k

k

對x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，
即函數F（x）=-x+b，x∈R，在（-∞，+∞）上遞減，…（9分）
所以假設存在實數a滿足F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1），
即1＜cos²θ+asinθ＜9對任意的θ∈（0，π）恒成立，
它等價于

t2-at+8＞0 t2-at＜0

在t∈（0，1]上恒成立．
t²-at+8＞0，t∈（0，1]?a＜t+

8

t

，
易得a＜9．而t²-at＜0知a＞t所以a＞1．
綜合以上有當1＜a＜9使得F（cos²θ+asinθ）＜3對任意的θ∈（0，π）恒成立（13分）

點評：本題考查解函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，容易出錯．本題型是高考的重點，解題時認真審題，仔細解答．