Question

已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.
（1）求C的方程；
（2）過F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相較于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求的方程.

Answer 1

（1）；（2）直線的方程為或．

解析試題分析：（1）由已知條件，先求點(diǎn)的坐標(biāo)，再由及拋物線的焦半徑公式列方程可求得的值，從而可得拋物線C的方程；（2）由已知條件可知直線與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)直線的點(diǎn)參式方程：，代入消元得．設(shè)由韋達(dá)定理及弦長公式表示的中點(diǎn)的坐標(biāo)及長，同理可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)及的長．由于垂直平分線，故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，由此列方程可求得的值，進(jìn)而可得直線的方程．
試題解析：（1）設(shè)，代入，得．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為；（2）由題設(shè)知與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)的方程為，代入得．設(shè)則
．故的中點(diǎn)為．又的斜率為的方程為．將上式代入，并整理得．設(shè)則．故的中點(diǎn)為．
由于垂直平分線，故四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，從而即，化簡(jiǎn)得，解得或．所求直線的方程為或．
考點(diǎn)：1．拋物線的幾何性質(zhì)；2．拋物線方程的求法；3．直線與拋物線的位置關(guān)系．