Question

曲線y=1+

4-x2

（|x|≤2）與直線y=k（x-2）+4有兩個交點時，實數k的取值范圍是（　　）

• A、(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]
• B、（

  5

  12

  ，+∞）
• C、(

  1

  3

  ，

  3

  4

  )
• D、(0，

  5

  12

  )

Answer 1

分析：如圖，求出 BC的斜率，根據圓心到切線的距離等于半徑，求得切線BE的斜率k′，由題意可知，k′＜k≤K_BC，從而得到實數k的取值范圍．

解答：解：曲線y=1+

4-x2

(| 即  x²+（y-1）²=4，（y≥1），表示以A（0，1）為圓心，以2為半徑的圓位于直線 y=1 上方的部分（包含圓與直線y=1 的交點C和 D），是一個半圓，如圖：
直線y=k（x-2）+4過定點B（2，4），設半圓的切線BE的切點為E，則 BC的斜率為 K_BC=

4-1

2+2

=

3

4

．
設切線BE的斜率為k′，k′＞0，則切線BE的方程為  y-4=k′（x-2），根據圓心A到線BE距離等于半徑得
2=

|0-1+4-2k′|

1+(k′)2

，k′=

5

12

，
由題意可得 k′＜k≤K_BC，∴

5

12

＜k≤

3

4

，
故選 A．

點評：本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，傾斜角和斜率的關系，體現了數形結合的數學思想，判斷
 k′＜k≤K_BC，是解題的關鍵．