Question

若曲線y=1+

4-x2

，x∈[-2，2]與直線y=k（x-2）+4有兩個不同的公共點，則實數k的取值范圍是

（

5

12

，

3

4

]

．

Answer 1

分析：先將曲線進行化簡得到一個圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x-2）+4表示過定點（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關系可以求實數k的取值范圍．

解答：解：因為y=1+

4-x2

，所以x²+（y-1）²=4，此時表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．
因為x∈[-2，2]，y=1+

4-x2

≥1，所以表示為圓的上部分．
直線y=k（x-2）+4表示過定點P（2，4）的直線，
當直線與圓相切時，有圓心到直線kx-y+4-2k=0的距離d=

|3-2k|

k2+1

=2，解得k=

5

12

．
當直線經過點B（-2，1）時，直線PB的斜率為k=

1-4

-2-2

=

3

4

．
所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點，則必有

5

12

＜k≤

3

4

．
即實數k的取值范圍是（

5

12

，

3

4

]．
故答案為：（

5

12

，

3

4

]．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用以及直線的斜率和距離公式．利用數形結合思想是解決本題的關鍵．同時要注意曲線化簡之后是個半圓，而不是整圓，這點要注意，防止出錯．