Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，是的中點，是的中點，點在線段上且．

（1）證明平面；

（2）當為多大時，在線段上存在點使得平面且與平面所成角為同時成立？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，，，利用向量法即可證明平面.

（2）取中點，連結，易得平面，由，轉化為與平面所成角為，求出平面的法向量，根據線面角公式即可得到，從而得到當時，在線段上存在中點，使得平面，且與平面所成角為同時成立.

（1）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，

是的中點，是的中點，點在線段上且.

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，，，

則，，，，

，，

，平面的法向量，

因為，平面，

所以平面.

（2）

取中點，連結，因為是中點，

所以，平面，

因為與平面所成角為同時成立，

所以與平面所成角為，

由（1）得，，，，

，，

設平面的法向量，

則，取，得，

因為與平面所成角為，

.

解得，即，

所以當時，在線段上存在中點，

使得平面，且與平面所成角為同時成立.