Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，為等邊三角形，.

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

1）推導出，從而，設為邊的中點，連結，，推導出四邊形為平行四邊形，從而，進而是，面，由此能證明．

（2）推導出面面，作于點，平面，以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）平面，平面，面面，

，

設為邊的中點，連結，，

，四邊形為平行四邊形，，

又為等邊三角形，，

，面

面，

．

（2）面，平面，面面，

在面中，作于點，平面，

以為原點，方向為軸，方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示．則，2，，，2，，，0，，，

則，，

設為平面的法向量，則，

取，得，

為平面的法向量，

則．

二面角為銳角，

二面角的余弦值為．