Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的最大值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為？若存在，求出對(duì)應(yīng)的值；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，得出，由結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出該函數(shù)的最大值；

（2）換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，然后分、和三種情況討論，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上最大值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的值.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即；

（2），

當(dāng)時(shí)，設(shè)，設(shè)，，

二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，滿足；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，不滿足.

綜上，存在符合題意.