Question

已知四面體OABC中，OA、OB、OC兩兩相互垂直，，，D為四面體OABC外一點．給出下列命題：①不存在點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形；②不存在點D，使四面體ABCD是正三棱錐；③存在點D，使CD與AB垂直并相等；④存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上．則其中正確命題的序號是（  ）
A.①②            B.②③            C.①③            D.③④

Answer 1

D

試題分析：

對于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=2，當四棱錐CABD與四面體OABC一樣時，即取CD=3，AD=BD=2，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故①不正確；對于②，由①知AC=BC=，AB=2，使AB=AD=BD，此時存在點D，CD=，使四面體C-ABD是正三棱錐，故②不正確；對于③，取CD=AB，AD=BD，此時CD垂直面ABD，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，故③正確；對于④，先找到四面體OABC的內接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可，∴存在無數個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上，故④正確，故正確的命題有③④，故選D．
點評：本題考查棱錐的結構特征，同時考查了空間想象能力，轉化與劃歸的思想，以及構造法的運用，屬于中檔題