Question

如圖：在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△EAD為正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求多面體EF-ABCD的體積；
（Ⅱ）求直線BD與平面BCF所成角的大小．

Answer 1

(1)5(2)

試題分析：解（Ⅰ）如圖.取AD的中點G，正△EAD中, ，又AD=2，故 ，又因為平面EAD平面ABCD，所以，多面體EF-ABCD的體積，而四邊形ABCD的面積，所以；設AB的中點為H，因為AB=2EF，所以FH∥AE，所以，所以，所以，故所求多面體EF-ABCD的體積是5

（Ⅱ）連接EH，由題設知EF=HB,又EF∥AB，所以四邊形EHBF是平行四邊形，連接GH，在△AGH中，AH=2AG=2，.故，即，又,所以平面EGH，
，又因為BF∥EH，所以AD BF，在平行四邊形ABCD中，BC∥AD，所以BC⊥BF；又GH⊥AD， GH∥ BD，所以BD ⊥AD，而BC∥AD，故BC⊥BD，所以BC⊥平面DFB，BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面DFB，所以點D在平面BCF上的射影P點在BF上，所以∠FBD就是直線BD與平面BCF所成的角，在△BFD中， BF=HE=，又BC⊥平面DFB，所以，平面FBD⊥面ABCD，故F點在平面ABCD上的射影K在BD上，且FK=EG=，所以，故求直線BD與平面BCF所成角是。
（第（Ⅱ）小題也可用向量解答，略）
點評：解決的關鍵是利用空間中的幾何體的分割法來得到不規則幾何體的體積的求解，對于角的求解可以運用幾何法也可以運用向量法來得到。屬于基礎題。