Question

已知函數．
(1) 當時，函數恒有意義，求實數a的取值范圍；
(2) 是否存在這樣的實數a，使得函數在區間上為增函數，并且的最大值為1．如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，.

解析試題分析：(1)首先根據對數函數的底數 ，得到為減函數，最小值是 ，再根據對數函數的真數大于0，得到 恒成立，在 范圍內解不等式即可；(2)先看真數部分是減函數，由已知“在區間上為增函數”可得，為減函數，此時得到；根據“的最大值為1”，結合對數函數的真數大于0，可知，解出，再判斷它是不是在的范圍內，在這個范圍內，那么得到的的值滿足題目要求，不在這個范圍內就說明滿足題目要求的是不存在的.
試題解析：(1)∵，設，
則為減函數，時，t最小值為，    2分
當，恒有意義，即時，恒成立．即；4分
又，∴                          6分
(2)令，則； ∵，∴ 函數為減函數，
又∵在區間上為增函數，∴為減函數，∴，8分
所以時，最小值為，此時最大值為；9分
又的最大值為1，所以，                   10分
∴，即， 所以，故這樣的實數a存在．      12分
考點：1.對數函數的定義及定義域；2.對數函數的單調性及其應用；3.對數函數的值域與最值；4.簡單復合函數的單調性；5.解不等式