Question

【題目】已知函數(shù).

（1）函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）函數(shù)（）的圖象在點(diǎn)處的切線為，證明：有且只有兩個(gè)點(diǎn)使得直線與函數(shù)的圖象也相切.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對(duì)求導(dǎo)，然后對(duì)a分類討論，求出單調(diào)區(qū)間即可；

（2）設(shè)（），可求出直線的方程為：，假設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為，所以直線的方程也可以寫作為：，又因?yàn)樾甭氏嗟瓤傻?/span>，即，由此可得，令（），然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理證明即可.

（1）（），所以，

①當(dāng)即時(shí)：在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)即時(shí)：令有：，

所以：在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）設(shè)（），

，所以：，

所以直線的方程為：，即：，①

假設(shè)直線與的圖象也相切，切點(diǎn)為，

因?yàn)?/span>，所以：，

所以直線的方程也可以寫作為：，

又因?yàn)?/span>，即：，

所以直線的方程為：，即：，②

由①②有：，即：，

令（），

所以，

令，得：，

所以：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以：，

又因?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以：在有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以有且只有兩個(gè)點(diǎn)使得直線與函數(shù)的圖象也相切.