Question

已知橢圓的焦距為4，且過點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線與橢圓只有一個公共點

（1）因為橢圓過點
 且 
       橢圓C的方程是
（2）

由題意，各點的坐標如上圖所示，
則的直線方程：
化簡得
又，
所以帶入
求得最后
所以直線與橢圓只有一個公共點.
第（1）題根據題意確定的大小，再將帶入方程，確定橢圓的方程；第（2）題是存在性問題，根據題意，設出，根據條件寫出的直線方程，并進行化簡，然而點坐標又在橢圓上，帶入方程，求出，即可判斷直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點.
【考點定位】考查橢圓的標準方程及其幾何性質，直線和橢圓的位置關系，并考查數形結合思想，邏輯推理能力及運算能力.