Question

（2009•山東模擬）在面積為S的△ABC內任取一點P，則△PAB的面積大于 

S

2

的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：設DE是△ABC平行于BC的中位線，可得當P點位于△ABC內部的線段DE上方時，能使△PAB的面積大于

S

2

，因此所求的概率等于△ADE的面積與△ABC的面積比值，根據相似三角形的性質求出這個面積比即可．

解答：解：分別取AB、AC中點D、E，連接DE
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE上一點到BC的距離等于A到BC距離的一半
設A到BC的距離為h，則當動點P位于線段DE上時，
△PAB的面積S=

1

2

BC•

1

2

h=

1

2

S_△ABC=

1

2

S
因此，當點P位于△ABC內部，且位于線段DE上方時，△PAB的面積大于

S

2

．
∵△ADE∽△ABC，且相似比

DE

BC

=

1

2

∴S_△ADE：S_△ABC=

1

4

由此可得△PAB的面積大于 

S

2

的概率為P=

S△ADE

S△ABC

=

1

4

故答案為：

1

4

點評：本題給出三角形ABC內部一點P，求三角形PBC面積大于或等于三角形ABC面積的一半的概率，著重考查了相似三角形的性質和幾何概型的計算等知識，屬于基礎題．