Question

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=•（+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-k，，其中k∈R，試討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=•（+）=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，0）
=sin²x+sinxcosx=+=．
所以函數(shù)的最小正周期為：π．
（2）因為函數(shù) ，由 ，即 ，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：．
（3），，所以，
，
函數(shù)g（x）=f（x）-k=-k，，其中k∈R，
當(dāng)k或時，零點為0個；
當(dāng)時函數(shù)有兩個零點，
當(dāng)時，函數(shù)有一個零點；
分析：（1）通過向量的數(shù)量積求出函數(shù)的表達(dá)式，利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求出函數(shù)的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，直接求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可．
（3）求出函數(shù)在時函數(shù)的取值范圍，即可根據(jù)函數(shù)的零點的判斷方法推出函數(shù)零點的個數(shù)．
點評：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，函數(shù)零點的判斷方法，考查計算能力．