Question

在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．若AC=BD=a，若四邊形EFGH的面積為

3

8

a2，則異面直線AC與BD所成的角為（　�。�

• A、30°
• B、60°
• C、120°
• D、60°或120°

Answer 1

分析：根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合題意證出四邊形EFGH為菱形，∠FEH（或其補(bǔ)角）就是異面直線AC與BD所成的角．設(shè)AC與BD所成的角為α，利用平行四邊形的面積公式，建立關(guān)于α的等式，解之即可得出AC與BD所成的角．

解答：解：連結(jié)EH，
∵EH是△ABD的中位線，
∴EH∥BD且EH=BD．
同理可得FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．
∴EH∥FG，且EH=FG，可得四邊形EFGH為平行四邊形．
∵AC=BD=a，
∴EF=EH=

1

2

a，四邊形EFGH為菱形，
設(shè)AC與BD所成的角為α，可得∠FEH=α或π-α，
可得四邊形EFGH的面積S=

1

2

a•

1

2

asinα=

3

8

a2，
解得sinα=

3

2

．
結(jié)合異面直線所成角為銳角或直角，可得α=60°，
即異面直線AC與BD所成的角為60°．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊的空間四邊形中求異面直線所成角的大小，著重考查了平行四邊形的面積公式、三角形中位線定理、異面直線所成角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．