Question

設拋物線的頂點在原點，其焦點F在y軸上，拋物線上的點P（k，-2）與點F的距離為4，則拋物線方程為

x²=-8y

．

Answer 1

分析：根據拋物線頂點在原點、焦點F在y軸上，且經過點P（k，-2），設其方程為x²=-2py（p＞0）．結合題意建立關于k、p的方程組，解之可得k、p的值，從而得該到拋物線方程．

解答：解：∵拋物線的頂點在原點，焦點F在y軸上，點P（k，-2）在拋物線上
∴拋物線開口向下，設方程為x²=-2py（p＞0）
可得拋物線的焦點F（0，-

p

2

），
∵拋物線上的點P（k，-2）與點F的距離為4，
∴得方程組

k2=-2p•(-2) (0-k)2+(- p 2 +2)2 =4

，解之得p=k=4，
因此拋物線方程為x²=-8y
故答案為：x²=-8y

點評：本題給出拋物線上一點到焦點的距離，求拋物線的方程，著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．