【題目】已知函數(shù)
在點
處切線的斜率為1.
（1）求
的值；
（2）設(shè)
，若對任意
，都有
，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）-1；（2）
.
【解析】
（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
，由
，即
，即可求解
的值.
（2）由對任意
，都有
，轉(zhuǎn)化為對任意，都有
，設(shè)
，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)
在
上單調(diào)性，可得
，設(shè)
，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)
的單調(diào)性與最值，進而可得到答案.
（1）由題意得，
，
由于，所以，即
.
（2）由題意得，當(dāng)
時，
，則有
.
下面證當(dāng)時，對任意，都有.
由于
時，
，當(dāng)時，則有
.
只需證明對任意，都有
.
證明：設(shè)，則
，所以在上單調(diào)遞增；
所以當(dāng)時，
，即
，
所以
，則.
設(shè)，，則
.
設(shè)
，，則
.
由于當(dāng)
時，
；當(dāng)
時，
；
則當(dāng)時，.
又時，
，所以當(dāng)時，則
，所以
在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，則
，即
，所以在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，則
.
所以對任意，都有
.
所以，當(dāng)時，對任意，都有.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左焦點為
，經(jīng)過點
的直線與橢圓相交于
，
兩點，點
為線段
的中點，點
為坐標(biāo)原點.當(dāng)直線的斜率為
時，直線
的斜率為
.
（1）求橢圓
的標(biāo)準方程；
（2）若點
為橢圓的左頂點，點
為橢圓的右頂點，過的動直線交該橢圓于，
兩點，記
的面積為
，
的面積為
，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知無窮數(shù)列
,
,
滿足:對任意的
,都有
=
,
=
,
=
.記
=
(
表示
個實數(shù)
,
,
中的最大值).
(1)若
=
,
=
,
=
,求
,
,
的值;
(2)若=,
=,求滿足
=
的的所有值;
(3)設(shè),,是非零整數(shù),且
,
,
互不相等,證明:存在正整數(shù)
,使得數(shù)列,,中有且只有一個數(shù)列自第項起各項均為
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
和
是雙曲線
上的兩點，線段
的中點為
，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點
．
（1）若直線和直線
的斜率都存在且分別為
和
，求證：
；
（2）若雙曲線的焦點分別為
、
，點的坐標(biāo)為
，直線的斜率為
，求由四點、
、、
所圍成四邊形
的面積．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為
，M為橢圓上任意一點，當(dāng)∠F1MF2＝90°時，△F1MF2的面積為1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點，延長直線AF1，AF2分別與橢圓交于點B，D，設(shè)直線BD的斜率為k1，直線OA的斜率為k2，求證：k1·k2等于定值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析
【解析】
（Ⅰ）由題意可求得
，則
，橢圓
的方程為.
（Ⅱ）設(shè)
，
，
當(dāng)直線
的斜率不存在或直線
的斜率不存在時，
.
當(dāng)直線、的斜率存在時，
,設(shè)直線的方程為
，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理計算可得直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，則.綜上可得：直線與的斜率之積為定值
.
（Ⅰ）設(shè)
由題
，
解得，則，
橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)直線的斜率不存在時，
設(shè)
，則
，直線的方程為
代入，
可得
，
，則
,
直線的斜率為
，直線的斜率為
，
，
當(dāng)直線的斜率不存在時，同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
則由
消去
可得：
，
又
，則
，代入上述方程可得:
，
，
則
，
設(shè)直線的方程為
，同理可得
，
直線的斜率為
直線的斜率為， 
.
所以，直線與的斜率之積為定值，即.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x＋b）（
－a），（b＞0），在（－1，f（－1））處的切線方程為（e－1）x＋ey＋e－1＝0．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若方程f（x）＝m有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＜x2，證明：x2－x1≤1＋
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）如圖，在直角坐標(biāo)系
中，角
的頂點是原點，始邊與
軸正半軸重合．終邊交單位圓于點
，且
，將角
的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)
，交單位圓于點
，記
．
（1）若
，求
；
（2）分別過
作
軸的垂線，垂足依次為
，記
的面積為
，
的面積為
，若
，求角
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線C2的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)）.
（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和直線C2的普通方程；
（2）若P（1，0），直線C2與曲線C1相交于A，B兩點，求|PA||PB|的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某專賣店銷售一新款服裝，日銷售量（單位為件）f(n) 與時間n（1≤n≤30、n
N*）的函數(shù)關(guān)系如下圖所示，其中函數(shù)f(n) 圖象中的點位于斜率為 5 和－3 的兩條直線上，兩直線交點的橫坐標(biāo)為m，且第m天日銷售量最大.
(Ⅰ)求f(n) 的表達式，及前m天的銷售總數(shù)；
(Ⅱ)按以往經(jīng)驗，當(dāng)該專賣店銷售某款服裝的總數(shù)超過 400 件時，市面上會流行該款服裝，而日銷售量連續(xù)下降并低于 30 件時，該款服裝將不再流行.試預(yù)測本款服裝在市面上流行的天數(shù)是否會超過 10 天？請說明理由.
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