Question

【題目】定義在R上的奇函數，當時,

則函數的所有零點之和為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

函數F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的零點轉化為：在同一坐標系內y＝f（x），y＝a的圖象交點的橫坐標；作出兩函數圖象，考查交點個數，結合方程思想，及零點的對稱性，根據奇函數f（x）在x≥0時的解析式，作出函數的圖象，結合圖象及其對稱性，求出答案．

∵當x≥0時，

f（x）＝

即x∈[0，1）時，f（x）＝（x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]時，f（x）＝x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）時，f（x）＝4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

畫出x≥0時f（x）的圖象，

再利用奇函數的對稱性，畫出x＜0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y＝a，與y＝f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）﹣a＝0共有五個實根，

最左邊兩根之和為﹣6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（﹣1，0）時，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）＝（﹣x+1），

又f（﹣x）＝﹣f（x），

∴f（x）＝﹣（﹣x+1）＝（1﹣x）﹣1＝log2（1﹣x），

∴中間的一個根滿足log2（1﹣x）＝a，即1﹣x＝2a，

解得x＝1﹣2a，

∴所有根的和為1﹣2a．

故答案為：1﹣2a．