Question

【題目】如圖，四棱錐，側面是邊長為2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形， 為棱上的動點，且.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）試確定的值，使得二面角的平面角余弦值為.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ) 取的中點，連結，可得， ，從而平面，所以，又，所以. (Ⅱ)根據題意可得兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，根據法向量的余弦值的絕對值為可求得，從而可得結論．

試題解析：

（Ⅰ）取的中點，連結，由題意可得， 均為正三角形，

所以， ，

又，

所以平面，

又平面，

所以.

因為，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

故可得兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ， ，

所以 ，

由，可得點的坐標為，

所以， ，

設平面的一個法向量為，

由，可得，

令，則，

又平面的一個法向量為，

由題意得，

解得或（舍去），

所以當時，二面角的余弦值為.