Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，橢圓的中心在原點，點在橢圓上，且離心率為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）動直線交橢圓于， 兩點， 是橢圓上一點，直線的斜率為，且， 是線段上一點，圓的半徑為，且，求

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據點在橢圓上，且離心率為，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得橢圓的標準方程；（2），聯立方程，由韋達定理、弦長公式可得的值，從而可得，再利用兩點間距離公式可得，于是，進而可得結果.

試題解析：（1）因為在橢圓上，所以.

又，聯立方程組,故橢圓的標準方程為

（2）設， ，聯立方程.

由，得，且， ，

所以

.

由題意可知圓的半徑.

由題設知，因此直線的方程為.

聯立方程因此.

所以

.

因為，所以，從而有，即得.

因此的取值范圍為.