Question

【題目】已知正四面體的表面積為，為棱的中點，球為該正四面體的外接球，則過點的平面被球所截得的截面面積的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，根據正四面體的表面積求出棱長和正方體的邊長，再利用正方體的體對角線等于外接球的直徑，即可求出球的半徑，當過點的截面到球心的距離最大距離時，截面圓的面積達最小值，最后利用球的截面的性質求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.

解：如圖所示，球為正四面體的外接球，即為正方體的外接球，

正四面體的表面積為，

設正四面體的棱長為，則，

解得：，

所以正方體的棱長為：，

設正四面體的外接球的半徑為，

則，即，

為棱的中點，過點作其外接球的截面，

當截面到球心的距離最大值時，截面圓的面積達最小值，

此時球心到截面距離等于正方體棱長的一半，即，

可得截面圓的半徑為：，

所以截面圓的面積最小值為：.

故答案為：.