Question

【題目】如圖在直三棱柱ABC A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E.

（1）求證：DE∥平面AA1C1C；

(2) 求證：BC1⊥AB1；

（3）設AC=BC＝CC1 =1,求銳二面角A- B1C- A1的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由DE是△B1AC中位，線易知DE∥AC，從而DE∥平面AA1C1C；（2）先證AC⊥平面BCC1B1，得BC1⊥AC，又因為BC1⊥B1C，所以BC1⊥平面B1AC，所以BC1⊥AB1；（3）先求出點A1到平面B1AC的距離，再求出點A1到交線B1C的距離，，轉化為余弦值即可.

證明：(1)由題意知，E為B1C的中點，

又D為AB1的中點，因此DE∥AC.

又因為DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因為三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因為AC平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因為AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因為BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因為AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.

又因為AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

（3）因為A1C1∥AC，AC平面B1AC，A1C1平面B1AC

所以A1C1∥平面B1AC

所以點A1到平面B1AC與點C1到平面B1AC的距離相等，且

又因為在△A1B1C中，A1B1=A1C=B1C=，

所以點A1到直線B1C的距離

所以銳二面角A- B1C- A1的正弦值

所以銳二面角A- B1C- A1的正弦值