Question

（本題滿分14分）
設函數，且，其中是自然對數的底數.
（1）求與的關系；
（2）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；
（3）設，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數的
取值范圍.

Answer 1

（1） ；（2）. （3）.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）利用題目中的條件f(e)的值，得到p,q的關系式。
（2）因為函數在其定義域內為單調函數，那么導函數應該是恒大于等于零或者恒小于等于零，那么得到參數的范圍。
（3）構造函數，通過研究函數的最值，得到參數的范圍。
解：（1）由題意得           
而，所以、的關系為         
（2）由（1）知，                   
令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.     
①當時，，
因為＞，所以＜0，＜0，
∴在內是單調遞減函數，即適合題意；
②當＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，
∴，
只需，即，
∴在內為單調遞增函數，故適合題意.
③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.                     
綜上所述，的取值范圍為.      
（3）∵在上是減函數，
∴時，；時，，即，
當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；
②當0＜＜1時，由，
又由（2）知當時，在上是增函數，
∴＜，不合題意；
③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，
又在上是減函數，故只需＞，  ，
而，，
即 ＞2，     解得＞ ，
綜上，的取值范圍是.