Question

已知函數(其中).
(Ⅰ)若為的極值點,求的值；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,解不等式；
(Ⅲ)若函數在區間上單調遞增,求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值、不等式等基礎知識，考查函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，因為為的極值點，所以是的根，所以對求導，解方程求出的值，最后檢驗一次是不是的極值點；第二問，先將不等式進行恒等變形，變成，轉化為不等式組，而對于來說，式子比較復雜，不可以直接解不等式，那就構造新函數，通過二次求導，判斷函數的單調性，通過函數圖像，數形結合解不等式；第三問，因為在上單調遞增，所以在上恒成立，對求導，由于中含參數，所以對進行討論，求出的增區間，利用與增區間之間的子集關系，求參數的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ)因為
     2分
因為為的極值點,所以由,解得     3分
檢驗,當時,,當時,,當時,.
所以為的極值點,故.     4分
(Ⅱ) 當時,不等式,
整理得,即或 6分
令,,,
當時,；當時,,
所以在單調遞減,在單調遞增,所以,即,
所以在上單調遞增,而；
故；,
所以原不等式的解集為；     8分
(Ⅲ) 當時, 
因為,所以,所以在上是增函數.
當時,, 時,是增函數,.
①若,則,由