Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，分別為，的中點，，.

（1）求證：；

（2）若直線和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線線垂直，證明線面垂直，即平面，再證明

（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，通過法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的正弦值.

（1）在直三棱柱中，平面,

，

又，且，平面，，

∴平面，又∵平面，

∴.

（2）以點為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系.

設，則，，，，，，，，

直線的方向向量，

平面的法向量，

可知，∴，

，，，

設平面的一個法向量，∴取，

設平面的一個法向量，∴取，

記二面角的平面角為，，∴，

∴二面角的正弦值為.