Question

【題目】已知直線l：與橢圓交于A，B兩點，點P是橢圓C上異于A，B的一個動點，點Q在直線AB上，滿足(為坐標原點)

（1）求點Q的軌跡方程；

（2）求四邊形OAPB的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2） 最大值12．

【解析】

（1）由條件用Q點坐標表示出P點坐標，再代入橢圓方程即可得到Q點的軌跡方程；

（2）由Q的軌跡與直線l有交點，求出k，m的不等關(guān)系，由有，求出的表達式，然后換元，利用k，m的不等關(guān)系求出新的自變量的范圍，從而可求面積的最大值．

（1）設(shè)，；

由有：，

又點P在橢圓C上，則，即，

所以點Q的軌跡方程：；

（2）設(shè)，，由有，

則消去y可得：，

則，，

又直線l與橢圓有公共點；

所以有：，

，即，

原點到直線l的距離為，又，則，

設(shè)，則，

當時，即時，有最大值4，

故S有最大值12．