Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以的四個頂點為頂點的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設，分別為橢圓的左、右頂點，是直線上不同于點的任意一點，若直線，分別與橢圓相交于異于，的點、，試探究，點是否在以為直徑的圓內？證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點在以為直徑的圓內，證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)由已知條件的值,再寫出橢圓方程；(2)要證明點在以為直徑的圓內，只需證明為鈍角即可,所以求出坐標,判斷的符號得出為銳角，從而為鈍角.

試題解析：（1）依題意得，，

又，由此解得，，所以橢圓的方程為．

（2）點在以為直徑的圓內，證明如下：

由（1）得，，設．

因為點在橢圓上，所以．①

又點異于頂點、，所以．

由、、三點共線可得，

從而，，

所以．②

將①代入②，化簡得，

因為，所以，于是為銳角，從而為鈍角，

故點在以為直徑的圓內．