Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點A為該橢圓的左頂點，過右焦點的直線l與橢圓交于B，C兩點，當軸時，三角形ABC的面積為18．

求橢圓的方程；

如圖，當動直線BC斜率存在且不為0時，直線分別交直線AB，AC于點M、N，問x軸上是否存在點P，使得，若存在求出點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】 ； 存在，P或.

【解析】

由離心率及三角形ABC的面積和a，b，c之間的關系求出橢圓方程；

由知A的坐標，設直線BC的方程，及B，C的坐標，進而寫直線AB，AC的方程，與直線聯立求出M，N的坐標，假設存在P點，是，使，求出P點坐標．

解：由已知條件得，解得；

所以橢圓的方程為；

設動直線BC的方程為，，，

則直線AB、AC的方程分別為和，

所以點M、N的坐標分別為，

聯立得，

所以；

于是，

假設存在點滿足，則，所以或5，

所以當點P為或時，有．