【題目】已知函數
有兩個極值點
，且
.
（1）求實數
的取值范圍；
（2）若
，證明：
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）
在
上有兩個不等的零點．設
，由
研究
在上的單調性和極值，由極值確定有零點個數，得
的范圍；
（2）由（1）
，
，
.，
，要證，只需證
，由
得
，然后令
，把
用
表示，這樣
就轉化為的函數，通過研究的函數的單調性和最值得出結論．
（1）
的定義域為
，
設
，則
在內有兩個變號零點，
令
得
，令
得
∴在
遞增，在
遞減
∴
又當
時，
，在沒有兩個零點
當
時，
（令
，因為
，所以
在遞減，
）
∴
使得
，
使得
當
時，
，∴遞減
當
時，
，∴遞增
當
時，
，∴遞增；
當
時，，遞減
∴
分別為的極小值與極大值點
綜上，的取值范圍為
（2）由（1）知，∴
，∴
∴t
時，∴
要證，只需證
∵由（1）
得
∴
得
，即
設
，則
，∴
，∴
∴
下面說明
即
，設
∴
∴遞增，∴
即
∴
成立
手拉手全優練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，點A為該橢圓的左頂點，過右焦點
的直線l與橢圓交于B，C兩點，當
軸時，三角形ABC的面積為18．
求橢圓的方程；
如圖，當動直線BC斜率存在且不為0時，直線
分別交直線AB，AC于點M、N，問x軸上是否存在點P，使得
，若存在求出點P的坐標；若不存在說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程
（
為參數）.直線
的參數方程
（
為參數）.
（Ⅰ）求曲線在直角坐標系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，當曲線截直線所得線段的中點極坐標為
時，求直線的傾斜角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計），一邊
長為6分米，另一邊足夠長．現從中截取矩形
（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計），其中
是以
為圓心、
的扇形，且弧
,
分別與邊
, 
相切于點
, 
．
（1）當
長為1分米時，求折卷成的包裝盒的容積；
（2）當
的長是多少分米時，折卷成的包裝盒的容積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的極坐標方程；
（2）射線
與曲線
分別交于
兩點（異于原點），定點
，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是圓
的直徑，點
是圓上異于
，
的點，直線
平面
，
，
分別是
，
的中點.
（Ⅰ）記平面
與平面的交線為
，試判斷直線與平面
的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設
，求二面角
大小的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
=1（a＞b＞0），定義橢圓C上的點M（x0，y0）的“伴隨點”為
．
（1）求橢圓C上的點M的“伴隨點”N的軌跡方程；
（2）如果橢圓C上的點（1，
）的“伴隨點”為（
，
），對于橢圓C上的任意點M及它的“伴隨點”N，求
的取值范圍；
（3）當a=2，b=
時，直線l交橢圓C于A，B兩點，若點A，B的“伴隨點”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O，求△OAB的面積．
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