Question

【題目】已知a＞0，b＞0，a+b=4，m∈R．

（1）求+的最小值；

（2）若|x+m||x2|≤+對任意的實數x恒成立，求m的范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）-3≤m≤1

【解析】

（1）結合條件構造均值定理的結構形式，利用均值定理求解最小值；

（2）根據第（1）問可得+的最小值，求|x+m||x2|的最大值小于等于+的最小值.

（1）∵a＞0，b＞0，a+b=4，

∴+=（+）（a+b）=（2++）≥（2+2）=1，

當且僅當a=b=2時取“=”；∴+的最小值為1；

（2）若|x+m||x-2|≤+對任意的實數x恒成立，

則|x+m||x-2|≤對任意的實數x恒成立，

即|x+m||x-2|≤1對任意的實數x恒成；

∵|x+m||x-2|≤|（x+m）（x-2）|=|m+2|，

即|m+2|≤1，∴-1≤m+2≤1，解得3≤m≤1，

∴m的取值范圍是3≤m≤1．