Question

14分）已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為A（0，－1），且其右焦點到直線x－y＋=0的距離為3．（I）求橢圓的方程；
（II）是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與已知橢圓交于不同的兩點M、N，
且|AN|＝|AM|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）故滿足條件的直線l存在，其斜率k的范圍為－1＜k＜1且k≠0．

（I）解：由題意，設橢圓方程為：（a＞1），
則右焦點為F （，0），由已知　，解得：a＝
∴橢圓方程為：                             …………5分
（II）解：設存在滿足條件的直線l，其方程為y＝kx＋b（k≠0）
由　　得：　①      …………7分
設M（x1，y1）、N（x2，y2）是方程①的兩根，則
　②     …………9分
由韋達定理得：
從而MN的中點P的坐標為（）           ……10分
∵｜AM｜＝｜AN｜　∴AP是線段MN的垂直平分線　∴AP⊥MN
于是　，                 ………12分
代入②并整理得：（3k2＋1）（k2－1）＜0，∴－1＜k＜1
故滿足條件的直線l存在，其斜率k的范圍為－1＜k＜1且k≠0． ………14分