Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：1）根據離心率為 ，可得 ，根據橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，可求b的值，從而可得橢圓的方程；
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設直線PB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，及向量的數量積公式，即可確定 的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）由題意知，∴，即
又，∴ 故橢圓的方程為     4分
（Ⅱ）解：由得：           6分

設A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂)，則      8分
∴   10分
∵∴，  ∴
∴的取值范圍是．                   13分