Question

【題目】如圖1，在正方形中，點分別是的中點，與交于點，點分別在線段上，且．將分別沿折起，使點重合于點，如圖2所示.

（1）求證：平面；

（2）若正方形的邊長為4，求三棱錐的內切球的半徑.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）因為點重合于點（該點記為），由原圖可知，三條直線兩兩垂直，那么平面,又根據圖中給的比例關系，可知,根據平行關系可知,平行線與同一平面垂直，即證明；(2)因為內切球的球心到三棱錐的四個面的距離相等，所以可將三棱錐的體積分為四個小三棱錐的體積和，而每一個小三棱錐的高就是內切球的半徑，這樣根據體積和可求得內切球的半徑.

試題解析：（1）在正方形中，為直角，

∴在三棱錐中，三條線段兩兩垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∵，即，∴在中，．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）正方形邊長為4．

由題意，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

設三棱錐內切球半徑為．

則三棱錐的體積

∴．

∴三棱錐的內切球的半徑為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分