Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數在上是減函數，求實數的最小值；

（3）若，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調減區間是，增區間是；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據解析式求出g（x）的定義域和g′（x），再求出臨界點，求出g′（x）<0和g′（x）>0對應的解集，再表示成區間的形式，即所求的單調區間；

（2）先求出f（x）的定義域和f′（x），把條件轉化為f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再對f′（x）進行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；

（3）先把條件等價于“當x∈[e，e2]時，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入進行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，結合（2）求出的a的范圍對a進行討論：和，分別求出f′（x）在[e，e2]上的單調性，再求出最小值或值域，代入不等式再與a的范圍進行比較．

由已知函數的定義域均為，且

（1）函數，則，

當且時，；當時，.

所以函數的單調減區間是，增區間是；

（2）因在上為減函數，故在上恒成立，

所以當時，，

又，

故當，即時，,

所以于是，故的最小值為；

（3）命題“若使成立”等價于：

“當時，有”，

由（2），當時，，∴，

問題等價于：“當時，有”，

①當時，由（2），在上為減函數，

則，故.

②當時，由于在上為增函數，

故的值域為，即.

由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：

當時，，為減函數；當時，，為增函數；

所以，，.

所以，，與矛盾，不合題意.

綜上，得.