Question

【題目】如圖①，正方形的邊長為4，，，把四邊形沿折起，使得平面，是的中點，如圖②

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

首先結合已知底面，所以有，再結合菱形的性質即可得到，那么（1）便不難求證了。對于（2）首先建立如圖所示的空間直角坐標系，分析可知，為平面的一個法向量，再求出平面的法向量，然后根據進行求解即可。

解：（1）證明：連接，因為，底面，

所以底面，又底面，所以，

因為，所以四邊形為菱形，所以，

又，平面，平面，所以平面.

（2）由（1）知四邊形為菱形，，，

設，所以，，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

所以，，

設平面的法向量為，

則所以令，則，，

即平面的一個法向量為，

易知平面的一個法向量為，

設二面角的大小為，由圖易知，

所以.