Question

若拋物線y²=2px（p＞0）與直線x-y-1=0相交于A，B兩點，且

OA

•

OB

=-1，則p=（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：將直線方程與拋物線方程聯立，根據韋達定理可求得x₁x₂和y₁y₂的關于p的表達式，根據

OA

•

OB

=-1，即可知x₁x₂+y₁y₂=-1，解方程即可求得p的值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y2=2px x-y-1=0

消去y，得：（x-1）²=2px，
即x²-（2+2p）x+1=0，
∴x₁+x₂=2+2p，x₁x₂=1，
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=1-（2+2p）+1=-2p，
∵

OA

•

OB

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=-1，
即1-2p=-1，
∴p=1．
故選A．

點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，解題時直線方程與拋物線方程的聯立是關鍵，運用韋達定理求解，應掌握．